PARA ENCARAR LA PROPUESTA DIDÁCTICA Y EL DESARROLLO DE ESTE PROBLEMITA, ELEGÍ TRANSCRIBIR DOS ANTIGUAS NOTAS QUE PUBLIQUÉ EL EL PERIÓDICO PROFESIONAL DOCENTE, ALREDEDOR DEL AÑO 2000
LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA REAL
“VOLVER AL FUTURO”
Quisiera
compartir con todos ustedes, una experiencia tan rica como inesperada.
Venimos
insistiendo, desde ya hace bastante tiempo, en la necesidad de plantear
problemas que puedan aprovecharse en más de un sentido. Es por ello que, en la
sección RE-CREANDO PROBLEMAS presentamos, casi siempre, una situación
problemática preelegida por otros, sobre la cual desplegamos distintas
estrategias de solución, probamos diferentes caminos, más allá de la respuesta
técnica más aceptable, la que seguramente derivará de la resolución de algún
tipo de ecuación.
Pues
bien el problema que ilustra este artículo, fue presentado bastante después de
su fecha de publicación, a distintos y muy diversos grupos de aprendizaje:
maestros y profesores de la provincia de Bs.As. en tren de capacitación;
alumnos de una escuela media nocturna de Capital Federal; alumnos del
Profesorado en Enseñanza Primaria (P.E.P.) y por último también, a alumnos de
sexto y séptimo grados de una escuela primaria porteña
Resulta
hasta conmovedor cuando se puede comprobar en la práctica que ciertas hipótesis
que uno construye y sostiene desde la praxis, se verifican y se enriquecen.
En este caso, el problema en cuestión cobró
vida propia y exigió y de los distintos
grupos-clase, lo mejor de cada uno de ellos, convocando a la gran diversidad de
constelaciones de saberes previos y
despertando, en algunos, el asombro por descubrir y promover otras alternativas
de solución, siendo que se consideraban personas casi nulas en matemática.
En la
ciudad de San Martín, por ejemplo, imaginaron que la figura estaba armada por
varillas iguales, cada una de las cuales correspondía a los lados del cuadrado
o bien a los lados mayores de cada rectángulo, admitiendo que la suma de todas
ellas, era 7 veces 96cm. (¿por qué).
El paso siguiente fue determinar la cantidad
total de las supuestas varillas, lo que en cierto modo ya resuelve el problema.
No
escapará a la mayoría de ustedes que se utilizan 16 varillas iguales (Es un
buen ejercicio verificar esto, dado que no es tan sencillo), para luego
efectuar 672cm: 16, con el fin de calcular
la longitud de cada lado del cuadrado,
y multiplicarlo finalmente por 4, para obtener así el perímetro buscado: 168cm
(no hay
nada que hacer, matemática se lee con lápiz y papel).
También
resulta satisfactorio comprobar que el material concreto, brinda sus
beneficios, aún cuando se lo utiliza como aquí, en forma virtual, siempre que
se lo utilice para provocar reflexiones que desemboquen en operaciones
mentales.
Por el
contrario, los alumnos de la primaria y los de los primeros años de media mediante curiosos malabarismos aritméticos,
efectuando las siguientes operaciones:
96 x 7 = 672 672: 4 = 168
llegaron
al resultado correcto, sin tener la menor idea de por qué lo hacían, y qué
obtenían en cada operación. Debo admitir que a algunas docentes le sucedió lo
mismo.
A lo
sumo, obtuve como respuesta aislada de jovencitos y adultos, que dividían por 4
por tratarse de un cuadrado.
Lo
realmente extraordinario es que todos sabían que 168cm era la respuesta
correcta.
¿Cómo
hacerles entender que aún cuando hubieran llegado a lo correcto, este éxito se
les escurría de las manos, porque no lo podrían repetir en situaciones
análogas?
¿Cómo hacer que entiendan que, aún cuando admitamos
de buen grado, soluciones diferentes y este problema sí que las tiene, todas
ellas deben tener su buena cuota de razonabilidad y coherencia?
¿Cómo
explicarles la supuesta sinrazón?
Finalmente,
fue un alumno de la primaria, bastante ALEGRE él, que quiso buscar, por su
cuenta y riesgo - como el protagonista joven de la película que hoy nos titula-
las respuestas a los interrogantes que les habíamos planteado.
Damián pensó como variante qué hubiera pasado, si se
contaba con cinco rectángulos iguales con el mismo perímetro.
Claro,
él creyó en su "MÉTODO" y allí
fue multiplicando
96x5= 480 y
luego hizo 480:4 = 120,
con lo que
él consideró resuelto el problema.
Espíritu
controvertido, pero riguroso, aplicó la resolución por ecuaciones y hete aquí,
que ambos resultados, para su sorpresa, no coincidieron.
La
solución por ecuaciones, en este caso, surge de
2(L + L/5) = 96 (dije lápiz y papel)
con lo
que L = 40cm y el perímetro resulta ser 160cm,
con lo que apareció la contradicción y el supuesto de que el problema era un
disparate porque a él, le daban cosas distintas por haber ido por caminos
diferentes.
Introdujimos
aquí la idea de las varillas y luego de ciertos conciliábulos, acordamos que,
en el caso de cinco rectángulos, utilizamos sólo 12 de ellas, por lo que el
problema se planteaba así:
96cm x 5 = 480cm; 480 cm: 12 = 40 cm ;
40cm x 4 = 160cm
con lo
que recuperamos el resultado correcto,
y... la confianza en la gobernabilidad del buen sentido.
Lo
importante es entonces, en todos los casos posibles, estar abiertos a las
inquietudes, curiosidades, aciertos, propuestas y sobre todo, a los errores de
los alumnos, porque ellos nos abren nuevos caminos inexplorados con la
posibilidad de obtener nuevas
"riquezas", como he dado cuenta, hasta aquí.
POR ESO.
. . "VOLVER AL FUTURO"
Porque
no hay saberes acabados ni caminos únicos. . .
Porque
en algunas oportunidades, tenemos que volver sobre nuestros pasos para pisar con más fuerza
aquellos que vendrán. . .
Y porque
realmente cuándo te digo HOY, querido lector,
¿A qué
tiempo me refiero?
¿HOY que
te estoy escribiendo o este HOY en que
me estás leyendo?
PROF. ARNALDO SERGIO TACACHO
RE-CREANDO
PROBLEMAS julio/2001
Retomando
lo desplegado en la sección LA MATEMATICA EN LA ESCUELA REAL de la revista
PROFESIONAL DOCENTE, respecto de un problema presentado en mayo de 1998
y vuelto a trabajar y a recrear en
sucesivos grupos de aprendizaje bastante heterogéneos, tal como lo explica la
nota que invitamos a leer, para lograr la mayor comprensión de ésta, vamos a
intentar generalizar las distintas estrategias de solución del problema que nos
ocupa, con el fin de construir un ALGORITMO
general, que nos permita
ingresar a otro nivel de
conceptualización.
RECORDEMOS
EL PROBLEMA
Dividido
un cuadrado en siete rectángulos congruentes, cada uno de los cuales mide 96 cm de perímetro ¿CUÁL ES
EL PERÍMETRO DEL CUADRADO?
El tema
consiste en analizar que ocurre si variamos alternativamente, la cantidad de
rectángulos en juego y podamos llegar a construir una tabla comparativa, que
nos permita encontrar el ALGORITMO, a
que hacíamos referencia al comienzo y el
que Damián, aquel alumno de séptimo, creyó descubrir.
VEAMOS:
Tener presente que el perímetro de cada
rectángulo es siempre 96cm
CASO A:
El cuadrado está dividido en dos rectángulos congruentes.
La
cantidad de "varillas" necesarias para armar la figura es seis
(Recordar
que una varilla representa a cada lado del cuadrado)
En
consecuencia, haciendo:
(96cm x 2): 6 = 32cm
Se
obtiene el lado del cuadrado.
El
cálculo del perímetro se lo dejo a uds. (¡no hay nada que hacer, en esta
sección hay que trabajar!)
CASO B: El
cuadrado está dividido en tres rectángulos congruentes
Cantidad
de varillas: ocho
CASO C: El
cuadrado está dividido en cuatro rectángulos congruentes
Cantidad
de varillas: diez
(96cm x
4): 10 = 38,4 cm PERÍMETRO =?
CASO D: El
cuadrado está dividido en cinco rectángulos congruentes
Cantidad
de varillas: 12
(96cm
x 5):12 = 40cm
PERÍMETRO =?
Bueno,
ustedes podrán seguir con nuevos casos.
OBSERVACIONES:
1) Los
alumnos de media podrán construir y completar la tabla comparativa a que hice
referencia con anterioridad y a su vez, comprobar todo, resolviendo las
ecuaciones correspondientes.
2) Para
los que no lo van a hacer, les digo lo siguiente:
Siendo P el perímetro del cuadrado,
L el número total de lados o varillas y
R el número de rectángulos
LA FÓRMULA ES: P X R
---------- x 4
L
3) Los
alumnos del POLIMODAL, podrán desarrollar aún más la fórmula general para la división del cuadrado en n rectángulos
congruentes.
4) Una vez más vemos en la práctica , que el motor de la matemática es la búsqueda de
regularidades y la construcción de reglas y fórmulas que las expresen.
PROF. ARNALDO SERGIO TACACHO
NOTA:
Agradezco en especial a Damián Alegre
(el de 7°) y a las colegas-alumnas, porque tanto su inquietud como su curiosidad, posibilitaron este ulterior desarrollo.
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