CUADRADO Y ALGO MÁS (DIDÁCTIZAS)

PARA ENCARAR LA PROPUESTA DIDÁCTICA Y EL DESARROLLO DE ESTE PROBLEMITA, ELEGÍ TRANSCRIBIR DOS ANTIGUAS NOTAS QUE PUBLIQUÉ EL EL PERIÓDICO  PROFESIONAL DOCENTE, ALREDEDOR DEL AÑO 2000

LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA REAL

“VOLVER  AL FUTURO”

Quisiera compartir con todos ustedes, una experiencia tan rica como inesperada.

Venimos insistiendo, desde ya hace bastante tiempo, en la necesidad de plantear problemas que puedan aprovecharse en más de un sentido. Es por ello que, en la sección  RE-CREANDO PROBLEMAS  presentamos, casi siempre, una situación problemática preelegida por otros, sobre la cual desplegamos distintas estrategias de solución, probamos diferentes caminos, más allá de la respuesta técnica más aceptable, la que seguramente derivará de la resolución de algún tipo de ecuación.

Pues bien el problema que ilustra este artículo, fue presentado bastante después de su fecha de publicación, a distintos y muy diversos grupos de aprendizaje: maestros y profesores de la provincia de Bs.As. en tren de capacitación; alumnos de una escuela media nocturna de Capital Federal; alumnos del Profesorado en Enseñanza Primaria (P.E.P.) y por último también, a alumnos de sexto y séptimo grados de una escuela primaria porteña

Resulta hasta conmovedor cuando se puede comprobar en la práctica que ciertas hipótesis que uno construye y sostiene desde la praxis, se verifican y se enriquecen.

 En este caso, el problema en cuestión cobró vida propia y exigió y  de los distintos grupos-clase, lo mejor de cada uno de ellos, convocando a la gran diversidad de constelaciones de saberes previos  y despertando, en algunos, el asombro por descubrir y promover otras alternativas de solución, siendo que se consideraban personas casi nulas en  matemática.

En la ciudad de San Martín, por ejemplo, imaginaron que la figura estaba armada por varillas iguales, cada una de las cuales correspondía a los lados del cuadrado o bien a los lados mayores de cada rectángulo, admitiendo que la suma de todas ellas, era 7 veces  96cm. (¿por qué).

 El paso siguiente fue determinar la cantidad total de las supuestas varillas, lo que en cierto modo ya resuelve el problema.

No escapará a la mayoría de ustedes que se utilizan 16 varillas iguales (Es un buen ejercicio verificar esto, dado que no es tan sencillo), para luego efectuar 672cm: 16, con el fin de calcular  la longitud de cada lado del cuadrado,  y multiplicarlo finalmente por 4, para obtener  así el perímetro buscado: 168cm

(no hay nada que hacer, matemática se lee con lápiz y papel).

También resulta satisfactorio comprobar que el material concreto, brinda sus beneficios, aún cuando se lo utiliza como aquí, en forma virtual, siempre que se lo utilice para provocar reflexiones que desemboquen en operaciones mentales.

Por el contrario, los alumnos de la primaria y los de los primeros  años de media mediante curiosos malabarismos aritméticos, efectuando las siguientes operaciones:

                                  96 x 7 = 672             672: 4 = 168

llegaron al resultado correcto, sin tener la menor idea de por qué lo hacían, y qué obtenían en cada operación. Debo admitir que a algunas docentes le sucedió lo mismo.

A lo sumo, obtuve como respuesta aislada de jovencitos y adultos, que dividían por 4 por tratarse de un cuadrado.

Lo realmente extraordinario es que todos sabían que 168cm era la respuesta correcta.

¿Cómo hacerles entender que aún cuando hubieran llegado a lo correcto, este éxito se les escurría de las manos, porque no lo podrían repetir en situaciones análogas?

¿Cómo  hacer que entiendan que, aún cuando admitamos de buen grado, soluciones diferentes y este problema sí que las tiene, todas ellas deben tener su buena cuota de razonabilidad y coherencia?

¿Cómo explicarles la supuesta sinrazón?

Finalmente, fue un alumno de la primaria, bastante ALEGRE él, que quiso buscar, por su cuenta y riesgo - como el protagonista joven de la película que hoy nos titula- las respuestas a los interrogantes que les habíamos planteado.

Damián  pensó como variante qué hubiera pasado, si se contaba con cinco rectángulos iguales con el mismo perímetro.

Claro, él creyó en su "MÉTODO"  y allí fue multiplicando

        96x5= 480    y  luego hizo      480:4 = 120,

con lo que él consideró resuelto el problema.

Espíritu controvertido, pero riguroso, aplicó la resolución por ecuaciones y hete aquí, que ambos resultados, para su sorpresa, no coincidieron.

La solución por ecuaciones, en este caso, surge de

     

                     2(L + L/5) = 96      (dije lápiz y papel)

con lo que L = 40cm  y el perímetro resulta ser 160cm, con lo que apareció la contradicción y el supuesto de que el problema era un disparate porque a él, le daban cosas distintas por haber ido por caminos diferentes.

Introdujimos aquí la idea de las varillas y luego de ciertos conciliábulos, acordamos que, en el caso de cinco rectángulos, utilizamos sólo 12 de ellas, por lo que el problema se planteaba así:

   96cm x 5 = 480cm;  480 cm: 12 = 40 cm  ;   40cm x 4 = 160cm

con lo que recuperamos el resultado correcto,  y... la confianza en la gobernabilidad del buen sentido.

Lo importante es entonces, en todos los casos posibles, estar abiertos a las inquietudes, curiosidades, aciertos, propuestas y sobre todo, a los errores de los alumnos, porque ellos nos abren nuevos caminos inexplorados con la posibilidad de obtener nuevas  "riquezas", como he dado cuenta, hasta aquí.

POR ESO. . .    "VOLVER AL FUTURO"

Porque no hay saberes acabados ni caminos únicos. . .

Porque en algunas oportunidades, tenemos que volver sobre  nuestros pasos para pisar con más fuerza aquellos que vendrán. . .

Y porque realmente  cuándo te digo  HOY, querido lector,

¿A qué tiempo me refiero?

¿HOY que te estoy escribiendo  o este HOY en que me estás leyendo?

                                                                   PROF. ARNALDO SERGIO TACACHO

RE-CREANDO PROBLEMAS   julio/2001

Retomando lo desplegado en la sección  LA MATEMATICA EN LA ESCUELA REAL  de la revista  PROFESIONAL DOCENTE, respecto de un problema presentado en mayo de 1998 y vuelto a trabajar  y a recrear en sucesivos grupos de aprendizaje bastante heterogéneos, tal como lo explica la nota que invitamos a leer, para lograr la mayor comprensión de ésta, vamos a intentar generalizar las distintas estrategias de solución del problema que nos ocupa, con el fin de construir un ALGORITMO  general, que nos  permita ingresar  a otro nivel de conceptualización.

RECORDEMOS EL PROBLEMA

Dividido un cuadrado en siete rectángulos congruentes, cada uno de los cuales mide 96 cm de perímetro ¿CUÁL ES EL PERÍMETRO DEL CUADRADO?

El tema consiste en analizar que ocurre si variamos alternativamente, la cantidad de rectángulos en juego y podamos llegar a construir una tabla comparativa, que nos permita encontrar el ALGORITMO,  a que hacíamos referencia al comienzo  y el que Damián, aquel alumno de séptimo, creyó descubrir.

VEAMOS: Tener presente que el  perímetro de cada rectángulo es siempre 96cm

CASO A: El cuadrado está dividido en dos rectángulos congruentes.

La cantidad de "varillas" necesarias para armar la figura es seis

    (Recordar que una varilla representa a cada lado del cuadrado)

En consecuencia,  haciendo:

        

                  (96cm x 2): 6 = 32cm

Se obtiene el lado del cuadrado.

El cálculo del perímetro se lo dejo a uds. (¡no hay nada que hacer, en esta sección hay que trabajar!)

CASO B: El cuadrado está dividido en tres rectángulos congruentes

Cantidad de varillas: ocho

CASO C: El cuadrado está dividido en cuatro rectángulos congruentes

Cantidad de varillas: diez

(96cm x 4): 10 = 38,4 cm                PERÍMETRO =?

CASO D: El cuadrado está dividido en cinco rectángulos congruentes

Cantidad de varillas: 12

(96cm x  5):12 =  40cm         PERÍMETRO =?

Bueno, ustedes podrán seguir con  nuevos casos.

OBSERVACIONES:

1) Los alumnos de media podrán construir y completar la tabla comparativa a que hice referencia  con anterioridad  y a su vez, comprobar todo, resolviendo las ecuaciones correspondientes.

2) Para los que no lo van a hacer, les digo lo siguiente:

     Siendo P el perímetro del cuadrado,

                  L  el número total de lados o varillas y

                  R  el número de rectángulos

    LA FÓRMULA ES:          P X R   

                                          ----------  x    4

                                              L

3) Los alumnos del POLIMODAL, podrán desarrollar aún más la fórmula general para  la división del cuadrado en n rectángulos congruentes.

4) Una vez más vemos en la práctica , que el motor de la matemática es la búsqueda de regularidades y la construcción de reglas y fórmulas que las expresen.

                                                 PROF. ARNALDO SERGIO TACACHO

NOTA: Agradezco en especial a Damián  Alegre (el de 7°) y a las colegas-alumnas, porque tanto su inquietud  como su curiosidad, posibilitaron este  ulterior desarrollo.

 

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