“DÍAS DE RADIO”

Mucho se ha hablado de Euclides, en no pocas oportunidades lo adjetivamos y hablamos de espacios, y cuerpos euclideos. Es bueno aclarar que su mayor contribución fue la de organizar, en el más amplio sentido de la palabra, casi toda la geometría conocida hasta entonces, y sistematizarla teóricamente en función del método deductivo.


Ya se me ocurre una primera pregunta, ¿Qué lugar ocupa en la escuela real de hoy este famoso Euclides, cuyo nombre sueña más a una marca comercial que a otra cosa?


Y también algunas otras…


¿Qué ideas, qué conceptos euclideos flotan en nuestro espacio escolar de tres dimensiones?


¿Alguien habla o por lo menos da a conocer sus famosos postulados?


¿Se hacen las aclaraciones más que necesarias sobre su actualización?


¿Se sembró la duda, alguna vez, en algún “salón de clases” del secundario sobre el quinto postulado y se mencionó, tan siquiera, alguna vez, las hermosas e inquietantes construcciones geométricas que surgieron de esa duda?


Si los trece volúmenes que ocupa su obra “ELEMENTOS”, dan cuenta de casi toda la geometría conocida hasta entonces, es obvio que incluye las obras y los trabajos de Pitágoras y sus seguidores quienes trescientos años antes que Euclides realizaron aportes fundamentales tanto al campo de la geometría, como de la aritmética y de la filosofía.


Dicen Rey Pastor y Babini en su historia de la Matemática:


“La geometría de los pitagóricos, en consonancia con su concepción metafísica, es una geometría de cuerpos sólidos y de figuras planas. Esta circunstancia confiere a le geometría pitagórica cierta fisonomía de saber concreto que la semeja al conjunto de conocimientos concretos geométricos de los pueblos orientales, pero en verdad los conocimientos pitagóricos se distinguen especialmente de aquéllos, como ya queda dicho, en que ya asoma en ellos la deducción, vale decir, un encadenamiento de raciocinios para fijar una determinada propiedad, y un encadenamiento de propiedades para deducir otras. Pero en la concepción Pitagórica, esta deducción no persigue la finalidad actual de construir un sistema deductivo lo más completo posible, sino que tiende ante todo al conocimiento de las propiedades de determinadas figuras y sólidos privilegiados dentro del propio sistema metafísico y dentro de la propia concepción del universo. Esas figuras y sólidos fueron los polígonos y poliedros regulares”.


Resulta muy útil al desarrollo de esta nota y para facilitar la posterior comprensión de la misma por parte de los lectores (¿habrá algunos consecuentes?), develar algunas de estas propiedades que hoy tiene diferentes pesos en la actualidad. Algunas, sólo son curiosidades para investigar. Otras, tiene sabores inveterados. En todos los casos, servirán para caer en la cuenta que, a pasos del próximo milenio, nuestras aulas están al amparo geométrico de los pitagóricos, recreados por Euclides cuando todavía faltaban 300 años para que comience nuestra civilización ” accidental y cristiana”, como afirmaba Mafalda.


Hoy suena como curiosidad el hecho de que sólo que pueda cubrir totalmente un plano con tres polígonos regulares- el triángulo, el cuadrado y el hexágono- . Cuando digo curiosidad me refiero al ambiente escolar, pues basta mirar nuestros pisos para comprobar las aplicaciones industriales de esta propiedad.


Muchas veces, para comprender el impacto de una información y las reales dimensiones de un hecho cultural, se hace imprescindible el contextual izarlo y con esto no digo nada nuevo.


Eran tiempos, los de los pitagóricos, del modelo de los cuatro elementos, y a cada uno de ellos se le asignó uno de los cuatro poliedros regulares conocidos hasta entonces.


El fuego se correspondía con el tetraedro, el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro, y la tierra le correspondía el hexaedro o cubo.


Los pitagóricos fueron los descubridores del dodecaedro (los cuerpos ya nombrados se conocían de antes) y para seguir con la línea de adjudicaciones metafísicas le asignaron la representación del universo en su integridad.


Estudiaron especialmente al triángulo equilátero, al cuadrado y al pentágono, por ser ellos las caras de las “figuras cósmicas”, Como los denominaban desde el misticismo.


En una nota anterior, sobre Geometría (“La cenicienta Nº 8) hablamos de trabajar la noción de figuras planas a través de las huellas que deja la impresión de los distintos cuerpos, Parece que una vez más se cumple aquello de “para novedades, los clásicos”


Un poco más adelante volveremos sobre estos cuerpos, ahora retomemos a Euclides y sus cinco postulados, de los que tengo la sensación de que muchos hablan pero pocos conocen.


“Postúlese- decía Euclides._:

1) Que por cualquier punto se pueda trazar una recta que pasa por otro punto cualquiera.


2) Que toda recta limitada pueda prolongarse in definitivamente en la misma dirección


3) Que con un centro dado y un radio dado se pueda trazar un círculo


4) Que todos los ángulos rectos son iguales


5) Que si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectas, esas dos rectas prolongadas in definidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectas, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectas.


A primera vista, uno se da cuenta que son bien distintos de los axiomas actuales. Presentan en forma bien clara tres elementos fundamentales: Punto, recta y circunferencia, dándole a esta última el mismo grado de importancia que a los otros dos elementos.


El quinto merece algún comentario aparte. Siempre se tuvo la sensación de que se trataba de un teorema, es decir, de una verdad que debía ser demostrada.


La búsqueda de esta demostración ocupó siglos y verdaderas confrontaciones, a la vez que posibilitó la apertura de nuevos, ricos y venturosos campos matemáticos, basados en la negación del quinto axioma (invito a colegas del secundario que hayan profundizado sobre el tema, a escribir sobre las geometrías no euclidianas).


Al admitir la existencia de rectas y circunferencias, permite la utilización de todos los instrumentos que permitan trazarlos, esto es, reglas y compases para todo tipo de construcciones. Curiosamente, Euclides no da cuenta de ellos. ¿No tendremos en nuestras aulas una actitud euclidea y por ende utilizamos cada vez menos los instrumentos geométricos? (Ya sé, estimado/a colega, que usted lo usa, que sus alumnos lo manejan a la perfección, pero yo me refiero a los otros ¿vio?)


Prometí volver sobre los poliedros regulares.


-¿Cómo que son cinco? ¿No eran cuatro?, preguntó Josefo (650 AC).


Estas preguntas apócrifas nos generan otra pregunta más actual.


Si alguna vez fueron cuatro y apareció un quinto… ¿quién nos asegura que alguna vez no aparezca un sexto?


Vamos a desarrollar un análisis de por qué es imposible la existencia de un sexto poliedro regular, de paso mostramos cómo es una secuencia organizada de razonamientos concatenados.


Los poliedros regulares tienen las siguientes propiedades:


1) Las caras de un poliedro regular son polígonos regulares.


2) En cada arista concurre el mismo número de caras de un ángulo poliedro es menor que cuatro rectas.


VEAMOS EL ANÁLISIS:


1) Sus caras son triángulos equiláteros


(Ángulo interior 60º)


Concurren en una arista:


3 triángulos 60º x 3 = 180º 4R


(TETRAEDRO)


4 Triángulos 60º x 4 = 240ª 4R


(OCTAEDRO)


5 Triángulos 60º x 5 = 300º 4R


(ICOSAEDRO)


6 triángulos 60º x 6 = 360º 4R (NO EXISTE)


Nos quedamos tranquilos, caras triangulares no puede tener.


2) Sus caras son cuadrados (ángulo interior 90º)


Concurren en una arista:


3 cuadrados 90º x 3 = 270º 4R CUBO


4 Cuadrados 90º X 4 = 360º 4R (NO EXISTE)


Tampoco sus caras podrán ser cuadradas.


3) CON PENTÁGONOS (ángulo interior 108º)


Concurren en una arista:


3 pentágonos 108º x 3 = 324º 4R


DODECAEDRO


4 pentágonos 108º x 4 = 432º 4R


NO EXISTE


En esta misma línea y para contestar la pregunta sobre la existencia de otros, analizamos la posibilidad de que las caras sean exagonales (ángulo interior 120º)


Si concurren tres hexágonos tenemos:


120º x 3 = 360º 4R NO EXISTE


Obviamente tampoco existe la posibilidad de polígonos regulares de mayor número de lados, dado que también aumentaría el valor de cada ángulo interior que multiplicado por tres, daría siempre una cantidad mayor que 4R.


Les sugiero que prueben la cosa con papeles o cartulina, recortando los polígonos regulares y formando los ángulos poliedros posibles (les va a resultar facilísimo de hacer y de comprender).


Primero ustedes y después con los chicos. Metan mano.


Metan el cuerpo. Métanse con los cuerpos.


Por eso… DÍAS DE RADIO


Porque hablar de polígonos regulares es hablar finalmente de círculos y circunferencias.


Porque hablar de poliedros regulares es finalmente hablar de las esferas que los contienen.


Y además… porque tenemos muchas ganas de que algunas cosas nos salgan redondas.