¡NO TRAIGAN SOLUCIONES!
Ya se han analizado las diferencias que se dan entre los docentes, diferencias en múltiples aspectos, que sin embargo no se dan en su formación matemática (ver etiqueta ABRIENDO DEBATE).
Esto también es producto de la escuela real, la que quiere romper estereotipos y en la que se está gestando la idea del fortalecimiento tanto individual como grupal, fortalecimiento entendido como perfeccionamiento en la propia escuela, capacitación con los propios alumnos, a partir de la reflexión permanente sobre nuestra práctica y por supuesto, la tan necesaria actualización sobre los nuevos contenidos y sobre todo “los de siempre”.
Hoy el tema es, en esta ENTRADA y en la escuela: LOS PROBLEMAS. ¿Qué hacer con ellos? ¿Cómo utilizarlos? ¿Para qué? ¿Estoy convencido de su real utilidad?
Se me aparecen varios interrogantes: ¿puedo yo, maestro de grado, resolver de distintas maneras los problemas que le doy a mis alumnos? Más aún, ¿acepto de buen grado cuando ellos resuelven por caminos diferentes del que tengo yo por modelo?
Se me ocurre otro más inquietante y dicho en confianza: ¿pueden los maestros y maestras de otros grados resolver los problemas que dan los docentes de séptimo?
¿Qué leemos hoy en los documentos que nos llegan por diferentes vías? Palabras más, palabras menos, nos dicen que debemos enseñar matemáticas resolviendo problemas. ¡Vaya novedad! Esto es lo que no quería decir el programa de 61 cuando afirmaba que “los problemas son esenciales para la enseñanza de la matemática, tanto para iniciar temas nuevos como para efectivizar su adquisición”
La profesora Elsa Demartino nos decía, hace ya cuarenta años, a un pequeño grupo de docentes, de la Escuela Nº 14 del D.E.4º, donde se implementaba la frustrada reforma del 70, que “toda clase matemática debía ser un tema a resolver”
Lo antedicho no debe ser considerado una opción o desdén a lo que se ha dado en llamar “la matemática francesa”, que hoy ilumina los documentos oficiales; más bien todo lo contrario. Si estoy diciendo ¡POR FIN!, por fin vamos a enseñar matemática como debe ser (no importa que sea argentino o francés).
Lo que realmente me preocupa es cómo resuenan en las paredes de nuestras aulas las palabras y las ideas de Brousseau y Vergnaud (dos de los principales exponentes) y lo que verdaderamente es más preocupante, las palabras y las propuestas del DISEÑO CURRICULAR DE LA C.A.B.A.
¿Quizás, como resonaron, en sus respectivas épocas, los principios de la escuela nueva, los centros de interés, los métodos activos, la Gestalt o la Matemática moderna?
O quizás también como ha resonado el mismísimo Piaget (a propósito, ¿vieron cuánta gente está de lo más aliviada y hasta casi contenta, porque algunos andan diciendo que “Piaget no corre más”?) de cómo resonaron todas esas cosas y unas cuántas más, da cuenta un estudio que se realizó sobre los cuadernos de clase de todas las épocas. Dicho trabajo demuestra, entre otras cosas, que los cuadernos de clase, durante los últimos sesenta años, no variaron mayormente en sus contenidos y formas de utilización- según una nota publicada en Clarín hace ya mucho tiempo.
Cuando digo “resonar en las paredes de nuestras aulas”, digo principalmente, en los saberes de nuestros maestros, quienes seguramente nunca aprendieron lo poco que aprendieron de la manera que ahora les pedimos que enseñen (Ya vimos qué y cómo aprendieron los maestros).
Yo mismo no recuerdo ni aún en el profesorado haber tenido una clase que comenzara con un problema y que, desde él, hubiéramos construido los contenidos y significados que los resolvieran.
Sin embargo ya, desde hace bastante tiempo, somos muchos los que estamos intentando cambiar este estado de cosas, y sé que somos bastantes más de lo que parecemos.
De esto se trata, de ponernos en acción, grupal mente pero con mucho compromiso individual, porque es sabido que todas las iniciativas generadas por “los altos mandos” no pueden prosperar en verdad si no cuentan con la real participación de aquellos que las van a implementar.
Por eso son tan necesarios las consultas previas, los acuerdos, el armado “desde abajo”.
Pero… ¿Qué es un PROBLEMA?
Intentemos una radiografía, por lo menos, de alguna de sus partes, para no cometer la torpeza de querer explicar todo.
¿Alguna vez se preguntaron por qué algunos problemas resultan más difíciles que otros?
¿Dónde reside el grado de dificultad, más allá del “número de pasos” que conlleve?
¿Cuál de sus componentes hace a la mayor o menos inescrutabilidad de una situación?
Admitamos que una situación es problemática cuando alguno o algunos de los elementos que intervienen en ella nos resultan desconocidos.
Es como si en una película borráramos a uno de los personajes y tuviéramos que descubrir su presencia, su perfil y sus acciones mediante el análisis del argumento y de los otros personajes.
Por estos tiempos, estoy casi convencido de que la mayor o menos dificultad de cualquier situación es determinada por los datos que provengan de la misma y su mayor o menos explicación.
En otras palabras, todo depende de qué tan a mano tengamos los datos. Y de lo que sepamos sobre cómo manejarlos dependerá la dificultad del problema y las posibilidades de su resolución.
Es bastante probable que además de todo esto, también tengamos que descubrir, construir, incorporar, aprender algún conocimiento o procedimiento nuevos para poder arribar a la solución final. Y de esto realmente se trata. Es de esto que habla el DISEÑO CURRICULAR. Es de esto que hablan todos los nuevos documentos.
El análisis del enunciado y la búsqueda de datos y posibles caminos de solución la podemos hacer como siempre o bien con muy diferentes recursos: esquemas, gráficos, diagramas, diagramas de flujo, cuadros, tablas y hasta mapas conceptuales.
Pero volvamos a los DATOS. Entiendo que hay dos categorías muy bien diferenciadas: los numéricos (los de siempre), cuyo aporte se hace imprescindible. Y por otra parte, los contenidos o procedimientos necesarios, a los que considero también como DATOS, dado que los tenemos que poseer o construir para poder arribar a la solución esperada.
Si estos últimos (los nuevos contenidos o procedimientos) están muy alejados de la comprensión del grupo por el nivel madurativo del mismo, la situación propuesta carece de significación y se convierte en un insondable y frustrante dilema.
“El problema debe ser desafiante desde el punto de vista intelectual. Los problemas deben ser elegidos por responder a un interés de construcción progresiva del conocimiento humano y no únicamente por referirse a un contexto cotidiano y cercano al humano”. (Del documento de orientación para la enseñanza de la Matemática en las escuela media. MCBA-1994).
Bueno, ¿qué quiere decir todo esto? Por favor, ¡Vamos a los papeles! Veamos una secuencia de dificultades en un tema particular.
Supongamos que tenemos que trabajar el concepto de superficie de un triángulo rectángulo (los enunciados pueden girar en torno a diversas situaciones que tengan que ver con este tipo de triángulos).
Concentrémonos en alguna de las posibilidades que disponemos para brindar los datos necesarios. Esto será en función de los otros contenidos que queremos practicar a introducir.
Caso 1: Damos como datos las longitudes de la base y de la altura. En este caso debo disponer del dato que me falta o “construirlo”: Esto es la FÓRMULA.
Caso2: Idéntico al anterior, pero expreso ambas longitudes en distintas unidades (agrego una dificultad más).
Caso3: Podemos establecer alguna relación aritmética entre ambos datos, según los contenidos con los que el grupo esté trabajando. Por ejemplo, que la altura representa el 75% de la base o bien las ¾ partes o tal vez los 0,75 de ella.
Caso4: Podemos remitir alguna propiedad geométrica, que genere algún DATO NO NUMÉRICO.
Por ejemplo, calcular la superficie de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que la medida de uno de sus catetos es 8.
Acá tendremos que recordar o “descubrir” que los catetos del mencionado triángulo son congruentes y que ambos son perpendiculares.
Caso 5: Puede apelar al concepto de reversibilidad (los problemas inversos). En este caso, damos las superficie y uno de los dos datos, con algunas variantes apuntadas anteriormente.
Caso 6: Para complicar el caos anterior, podemos apelar a las ecuaciones:
Área de BAC= 80
Calcular las medidas de los catetos.
Aquí tenemos un ejemplo de lo que hablaba antes. Éste no es un problema para la escuela primaria, pues requiere del uso de la ecuación de 2º grado; PERO EN PRIMARIA BIEN SE PUEDE RESOLVER MEDIANTE ENSAYOS Y ERRORES.
Caso 7: Si diéramos como datos, por ejemplo la hipotenusa, o uno de los catetos y la medida de uno de los ángulos agudos, tampoco sería posible pues se necesitan conocimientos de trigonometría.
Vemos entonces, el carácter determinante de la disponibilidad de los datos en las posibilidades de resolución de problemas.
Decía al principio que daba a conocer algunas intenciones de este BLOG. Aquí va la de esta nota en particular:
Si nos compenetramos en la naturaleza de las situaciones problemáticas, si podemos vivirlas como “verdaderos problemas a resolver”, si podemos explorar la variedad de posibilidades que nos brindan, si podemos actuar cooperativamente en el diseño de estrategias de solución, entonces vamos a poder utilizarlos para aprender MATEMÁTICA haciendo MATEMÁTICA.
Ya se han analizado las diferencias que se dan entre los docentes, diferencias en múltiples aspectos, que sin embargo no se dan en su formación matemática (ver etiqueta ABRIENDO DEBATE).
Esto también es producto de la escuela real, la que quiere romper estereotipos y en la que se está gestando la idea del fortalecimiento tanto individual como grupal, fortalecimiento entendido como perfeccionamiento en la propia escuela, capacitación con los propios alumnos, a partir de la reflexión permanente sobre nuestra práctica y por supuesto, la tan necesaria actualización sobre los nuevos contenidos y sobre todo “los de siempre”.
Hoy el tema es, en esta ENTRADA y en la escuela: LOS PROBLEMAS. ¿Qué hacer con ellos? ¿Cómo utilizarlos? ¿Para qué? ¿Estoy convencido de su real utilidad?
Se me aparecen varios interrogantes: ¿puedo yo, maestro de grado, resolver de distintas maneras los problemas que le doy a mis alumnos? Más aún, ¿acepto de buen grado cuando ellos resuelven por caminos diferentes del que tengo yo por modelo?
Se me ocurre otro más inquietante y dicho en confianza: ¿pueden los maestros y maestras de otros grados resolver los problemas que dan los docentes de séptimo?
¿Qué leemos hoy en los documentos que nos llegan por diferentes vías? Palabras más, palabras menos, nos dicen que debemos enseñar matemáticas resolviendo problemas. ¡Vaya novedad! Esto es lo que no quería decir el programa de 61 cuando afirmaba que “los problemas son esenciales para la enseñanza de la matemática, tanto para iniciar temas nuevos como para efectivizar su adquisición”
La profesora Elsa Demartino nos decía, hace ya cuarenta años, a un pequeño grupo de docentes, de la Escuela Nº 14 del D.E.4º, donde se implementaba la frustrada reforma del 70, que “toda clase matemática debía ser un tema a resolver”
Lo antedicho no debe ser considerado una opción o desdén a lo que se ha dado en llamar “la matemática francesa”, que hoy ilumina los documentos oficiales; más bien todo lo contrario. Si estoy diciendo ¡POR FIN!, por fin vamos a enseñar matemática como debe ser (no importa que sea argentino o francés).
Lo que realmente me preocupa es cómo resuenan en las paredes de nuestras aulas las palabras y las ideas de Brousseau y Vergnaud (dos de los principales exponentes) y lo que verdaderamente es más preocupante, las palabras y las propuestas del DISEÑO CURRICULAR DE LA C.A.B.A.
¿Quizás, como resonaron, en sus respectivas épocas, los principios de la escuela nueva, los centros de interés, los métodos activos, la Gestalt o la Matemática moderna?
O quizás también como ha resonado el mismísimo Piaget (a propósito, ¿vieron cuánta gente está de lo más aliviada y hasta casi contenta, porque algunos andan diciendo que “Piaget no corre más”?) de cómo resonaron todas esas cosas y unas cuántas más, da cuenta un estudio que se realizó sobre los cuadernos de clase de todas las épocas. Dicho trabajo demuestra, entre otras cosas, que los cuadernos de clase, durante los últimos sesenta años, no variaron mayormente en sus contenidos y formas de utilización- según una nota publicada en Clarín hace ya mucho tiempo.
Cuando digo “resonar en las paredes de nuestras aulas”, digo principalmente, en los saberes de nuestros maestros, quienes seguramente nunca aprendieron lo poco que aprendieron de la manera que ahora les pedimos que enseñen (Ya vimos qué y cómo aprendieron los maestros).
Yo mismo no recuerdo ni aún en el profesorado haber tenido una clase que comenzara con un problema y que, desde él, hubiéramos construido los contenidos y significados que los resolvieran.
Sin embargo ya, desde hace bastante tiempo, somos muchos los que estamos intentando cambiar este estado de cosas, y sé que somos bastantes más de lo que parecemos.
De esto se trata, de ponernos en acción, grupal mente pero con mucho compromiso individual, porque es sabido que todas las iniciativas generadas por “los altos mandos” no pueden prosperar en verdad si no cuentan con la real participación de aquellos que las van a implementar.
Por eso son tan necesarios las consultas previas, los acuerdos, el armado “desde abajo”.
Pero… ¿Qué es un PROBLEMA?
Intentemos una radiografía, por lo menos, de alguna de sus partes, para no cometer la torpeza de querer explicar todo.
¿Alguna vez se preguntaron por qué algunos problemas resultan más difíciles que otros?
¿Dónde reside el grado de dificultad, más allá del “número de pasos” que conlleve?
¿Cuál de sus componentes hace a la mayor o menos inescrutabilidad de una situación?
Admitamos que una situación es problemática cuando alguno o algunos de los elementos que intervienen en ella nos resultan desconocidos.
Es como si en una película borráramos a uno de los personajes y tuviéramos que descubrir su presencia, su perfil y sus acciones mediante el análisis del argumento y de los otros personajes.
Por estos tiempos, estoy casi convencido de que la mayor o menos dificultad de cualquier situación es determinada por los datos que provengan de la misma y su mayor o menos explicación.
En otras palabras, todo depende de qué tan a mano tengamos los datos. Y de lo que sepamos sobre cómo manejarlos dependerá la dificultad del problema y las posibilidades de su resolución.
Es bastante probable que además de todo esto, también tengamos que descubrir, construir, incorporar, aprender algún conocimiento o procedimiento nuevos para poder arribar a la solución final. Y de esto realmente se trata. Es de esto que habla el DISEÑO CURRICULAR. Es de esto que hablan todos los nuevos documentos.
El análisis del enunciado y la búsqueda de datos y posibles caminos de solución la podemos hacer como siempre o bien con muy diferentes recursos: esquemas, gráficos, diagramas, diagramas de flujo, cuadros, tablas y hasta mapas conceptuales.
Pero volvamos a los DATOS. Entiendo que hay dos categorías muy bien diferenciadas: los numéricos (los de siempre), cuyo aporte se hace imprescindible. Y por otra parte, los contenidos o procedimientos necesarios, a los que considero también como DATOS, dado que los tenemos que poseer o construir para poder arribar a la solución esperada.
Si estos últimos (los nuevos contenidos o procedimientos) están muy alejados de la comprensión del grupo por el nivel madurativo del mismo, la situación propuesta carece de significación y se convierte en un insondable y frustrante dilema.
“El problema debe ser desafiante desde el punto de vista intelectual. Los problemas deben ser elegidos por responder a un interés de construcción progresiva del conocimiento humano y no únicamente por referirse a un contexto cotidiano y cercano al humano”. (Del documento de orientación para la enseñanza de la Matemática en las escuela media. MCBA-1994).
Bueno, ¿qué quiere decir todo esto? Por favor, ¡Vamos a los papeles! Veamos una secuencia de dificultades en un tema particular.
Supongamos que tenemos que trabajar el concepto de superficie de un triángulo rectángulo (los enunciados pueden girar en torno a diversas situaciones que tengan que ver con este tipo de triángulos).
Concentrémonos en alguna de las posibilidades que disponemos para brindar los datos necesarios. Esto será en función de los otros contenidos que queremos practicar a introducir.
Caso 1: Damos como datos las longitudes de la base y de la altura. En este caso debo disponer del dato que me falta o “construirlo”: Esto es la FÓRMULA.
Caso2: Idéntico al anterior, pero expreso ambas longitudes en distintas unidades (agrego una dificultad más).
Caso3: Podemos establecer alguna relación aritmética entre ambos datos, según los contenidos con los que el grupo esté trabajando. Por ejemplo, que la altura representa el 75% de la base o bien las ¾ partes o tal vez los 0,75 de ella.
Caso4: Podemos remitir alguna propiedad geométrica, que genere algún DATO NO NUMÉRICO.
Por ejemplo, calcular la superficie de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que la medida de uno de sus catetos es 8.
Acá tendremos que recordar o “descubrir” que los catetos del mencionado triángulo son congruentes y que ambos son perpendiculares.
Caso 5: Puede apelar al concepto de reversibilidad (los problemas inversos). En este caso, damos las superficie y uno de los dos datos, con algunas variantes apuntadas anteriormente.
Caso 6: Para complicar el caos anterior, podemos apelar a las ecuaciones:
Área de BAC= 80
Calcular las medidas de los catetos.
Aquí tenemos un ejemplo de lo que hablaba antes. Éste no es un problema para la escuela primaria, pues requiere del uso de la ecuación de 2º grado; PERO EN PRIMARIA BIEN SE PUEDE RESOLVER MEDIANTE ENSAYOS Y ERRORES.
Caso 7: Si diéramos como datos, por ejemplo la hipotenusa, o uno de los catetos y la medida de uno de los ángulos agudos, tampoco sería posible pues se necesitan conocimientos de trigonometría.
Vemos entonces, el carácter determinante de la disponibilidad de los datos en las posibilidades de resolución de problemas.
Decía al principio que daba a conocer algunas intenciones de este BLOG. Aquí va la de esta nota en particular:
Si nos compenetramos en la naturaleza de las situaciones problemáticas, si podemos vivirlas como “verdaderos problemas a resolver”, si podemos explorar la variedad de posibilidades que nos brindan, si podemos actuar cooperativamente en el diseño de estrategias de solución, entonces vamos a poder utilizarlos para aprender MATEMÁTICA haciendo MATEMÁTICA.
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